G-Equations Différentielles Stochastiques Fractionnaires

Dans cette thèse, on étudie l'existence et l'unicité de la solution de deux nouveaux types d'équations différentielles stochastiques à savoir les G-équations différentielles stochastiques fractionnaires avec retard (G-FSDEs avec retard en abrégé) et les G-équations différentielles stochastiques fractionnaires avec sauts (G-FSDEs avec sauts en abrégé). On démontre également le principe de la moyennisation pour dans deux cas et on prouve, sous certaines hypothèses, que la solution peut être approximée par la solution du système stochastique moyenné en moyenne quadratique

Différentiabilité des équations différentielles stochastiques de type neutral gouvernées par un G-mouvement Brownien

L’objectif de cette thèse est d'étudier la différentiabilité de la solution d’une équation différentielle stochastique de type neutral gouvernées par G-mouvement Brownien (G-EDSNs, en abrégé) par rapport `a la condition initiale et paramètre. Nous avons d’abord prouvé que la solution d’une G-EDSN de dimensions n est différentiable par rapport à la condition initiale x qui appartient à l’espacede Banach BC ([−r, 0] ; Rn), et la dérivée est la solution d’une G-EDSN à valeur opérateur donnée. Un théorème d’existence et d’unicité de la solution a ´et´e prouvé en se basant sur le théorème d’existence et d’unicité des G-EDSNs standards. Ce résultat a été illustré par deux exemples pour montrer l’efficacité des résultats obtenus. Ensuite, nous avons montré que la solution d’une G-EDSN dont la condition initiale dépend d’un paramètre est également différentiable par rapport à celui-ci. La G-EDSN de la dérivée ainsi qu’un exemple ont été également donnés. Cette étude a été menée dans un cadre unidimensionnel et elle peut être généralisée au cas n-dimensionnel.

Controlled G-Neutral Stochastic Differential equations

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'existence d'un problème de contrôle optimal relaxé donné par deux équations stochastiques à retard dans le cadre du G-mouvement Brownien, où le terme neutre dans l'une des équations et le terme de diffusion dans les deux équations sont indépendants de la variable de contrôle, et nous donnons la motivation et l'application en économique. Dans le chapitre 1, nous présentons quelques notations initiales de la Gcalcul stochastique qui seront utilisées pour valider nos résultats. Nous visons à introduire la définition de l'équation différentielle stochastique fonctionnelle neutre dérivée par un G-mouvement Brownien (G-EDSFN, en bref), la formule de G-Itô, et nous étudions l'existence et l'unicité de la solution pour G-EDSFN sous l'hypothèse de Lipschitz raffinée, en plus de certaines simulations d'analyse numérique, dans le chapitre 2. Le troisième chapitre est consacré à la présentation de certains concepts de contrôle stochastique dans le cadre G, ainsi qu'à deux exemples de modèles de contrôle. Nous étudions les approximations et l'existence d'un contrôle optimal relaxé pour G-EDSFN en définissant l'espace de contrôle relaxé. La dernière chapitre examine l'existence d'un contrôle optimal relaxé d'une équation différentielle stochastique avec retard dérivé par un G-mouvement-Brownien (G-EDSR en abrégé) pour le cas de l'horizon fini et propose un modèle économique représenté par une G-EDSR, dont nous avons étudié l'optimisation. Nous avons relié nos systèmes contrôlés à l'équation appropriée de Hamilton Jacobi Bellman ‡ une G-avant-arrière équation différentielle stochastique découplée (G-AAEDS en abrégé). Dans l'ensemble, nous simulons la G-AAEDS pour trouver la stratégie optimale et le coût.

Différentiabilité de la solution d’une G- équation différentielle Stochastique par rapport à la condition initiale

Cette thèse est axée sur l'étude de la différentiabilité de la solution d'une G-équation différentielle stochastique d-dimensionnelle par rapport à la condition initiale. En premier lieu, nous démontrons l'existence et l'unicité de la solution d'un système décrit de deux G-équations différentielles stochastiques d-dimensionnelle. En deuxième lieu, nous donnons l'équation différentielle stochastiques matricielle de la dérivée. Finalement, un résultat intermédiaire qui indique que la dérivée est inversible et son inverse satisfait une certaine G-équation différentielle stochastiques matricielle est également prouvé. Ceci étend les résultats obtenus en 2013 par Lin, dans le cas unidimensionnel.

G-mouvement brownien fractionnaire et G-équations différentielles Stochastiques

Cette thèse porte sur l’étude des équations différentielles stochastiques des vecteurs propres orthogonaux du (G, ε) −processus de Wishart fractionnaire. Nous introduisons d’abord un nouveau processus appelé G−mouvement Brownien fractionnaire multivarié indexé par R où le paramètre de Hurst H est une matrice diagonale. De plus, en s’inspirant du cas classique, nous donnons une approximation (Rεt) de la partie Riemann-Liouville de BH par une suite de G−processus d’Itô. En outre, nous obtenons, sous l’hypothèse que tous les éléments diagonaux de H sont égaux dans (0, 1) \1/2, un système d’équations différentielles stochastiques des vecteurs propres orthogonaux du (G, ε) −processus de Wishart fractionnaire, qui admet 0 et une autre valeur propre non nulle comme seules valeurs propres. Finalement, une comparaison asymptotique de la valeur propre non nulle sera démontrée

Les G-fonctionnelles exponentielles et les G-équations différentielles Stochastiques

Dans cette thèse, nous démonterons l'existence et l'unicité de la solution d'un système d'équations différentielles stochastiques gouvernées par un G-mouvement Brownien en utilisant le schéma d'approximation de Caratheodory

Equations différentielles stochastiques contrôlées, gouvernées par un G-mouvement brownien

Dans cette thèse on s’intéresse aux problèmes de contrôle stochastique, on établit l’existence d’un contrôle optimal relaxé pour une équation différentielle stochastique gouvernée par un G−mouvement brownien. On démontre les conditions de régularité

Analyse stochastique des valeurs propres des matrices aléatoires à valeurs G-browniennes

L'objectif principal de cette thèse est de donner le système de G-EDS pour les valeurs propres et les vecteurs propres d'un G-mouvement Brownien matriciel comme dans le cas classique. Puisque on n'a pas nécessairement l'indépendance entre les entrées du G-mouvement Brownien matriciel, on suppose dans notre modèle que leurs covariances quadratiques sont nulles. Un résultat intermédiaire qui indique que les valeurs propres ne se rencontrent jamais a été également obtenu. Ceci étend les résultats de Bru obtenus pour un processus de Wishart classique (1989)

Valeurs propres des matrices aléatoires et lien avec les G-équations différentielles stochastiques

Dans cette thèse, on examine les processus de valeurs propres et des vecteurs propres d'un processus matriciel symétrique X, où X est la solution d'une équation différentielle stochastique générale définie à partir d'un G-mouvement Brownien matrice. On donne les équations différentielles stochastiques de ces processus. Ceci constitue une généralisation des résultats obtenus par P. Graczyk et J. Malecki (2013).

G-équations différentielle stochastiques et résolution numérique de la G-équation de la chaleur

La présente thèse porte sur la résolution numérique de la G-équation de la chaleur. La G-équation de la chaleur étant définie dans un domaine non borné, nous affirmons tout d'abord que la solution de la G-équation de la chaleur définie dans un domaine borné converge vers la solution de la G-équation de la chaleur lorsque la mesure du domaine tend vers l'infini. De plus, après discrétisation temporelle par un schéma de marche temporelle implicite, nous définissons une méthode de linéarisation de chaque problème stationnaire, conduisant à la résolution d'un système algébrique à grande échelle. Une analyse unifiée de la convergence des méthodes de relaxation séquentielle et parallèle est présentée. Enfin, nous présentons les résultats d'expériences numériques.

Résolution numérique de l’équation des milieux poreux et limite hydrodynamique

Le but de ce travail est d'établir l'existence et l'unicité de la solution de l'équation des milieux poreux modifiée, soumise à certaines contraintes, pour les conditions aux limites de Dirichlet et de Dirichlet-Neumann et de la résoudre par différentes méthodes numériques. Après un changement de variable approprié, on considère un schéma de discrétisation temporel implicite qui conduit à résoudre à chaque pas de temps une suite de problèmes stationnaires non linéaires. Chaque problème stationnaire est équivalent à un problème de minimisation avec contraintes, qui admet une unique solution. Pour chaque problème stationnaire, on utilise une discrétisation spatial par la méthode des différences finies. La discrétisation complète du problème stationnaire conduit à chaque pas de temps à la résolution d'un grand système algébrique non linéaire multivoque. Pour cela, on utilise deux méthodes parallèles asynchrones de sous domaines sans recouvrement et avec recouvrement (méthode alternée de Schwarz). On établi la convergence des deux méthodes, via des techniques de contraction. Finalement, on présente des résultats numériques en utilisant MATLAB pour les expériences séquentielles et C pour les expériences parallèles

Trou spectral d’un processus d’exclusion

On considÈre un processus díexlusion d'un champ moyen bicoloré dans un volume semblable à celui utilisé par Nagahata et Sasada (2011).Dans ce modèle, le taux de saut est général et les particules de chaque couleur sont soumises à une vitesse différente de 1. Le but de ce travail est de calculer le trou spectral dans le cas homogène sans aucune supposition. Les mesures canoniques de configurations sont aussi calculées pour un processus d'exclusion d'un champ moyen multi-coloré

Chaos de Wiener par rapport au G-mouvement Brownien

Motivé par des problèmes d'incertitude de la volatilité, Peng a proposé la G-espérance, comme étant le supremum des espérances classiques pris sur une famille de mesures de probabilités, ayant récemment reçu une très forte attention, en vertu de laquelle le processus canonique (B_t )_(t?0) est un G-mouvement Brownien qui a permis au développement du G-calcul stochastique. Dans cette thèse, on démontre le G-chaos de Wiener dans le cadre d'un espace d'espérance sous-linéaire. En outre, on établit une relation entre les polynômes d'Hermite et les G-intégrales stochastiques multiples. Un équivalent de l'orthogonalité des chaos de Wiener a été trouvé. On propose également une méthode algébrique pour prouver l'inégalité de Burkholder-Davis-Gundy dans le cas des intégrales stochastiques par rapport au G-mouvement Brownien

Estimation de la fonction mode pour des données tronquées et censurées

Dans cette thèse, nous nous proposons d’étudier certaines propriétés asymptotiques de l’estimateur non paramétrique du mode simple et conditionnel, lorsque la variable d’intérêt est soumise à une censure aléatoire à droite et une troncature aléatoire à gauche. Dans un premier temps, nous considérons une suite d’observations i.i.d. et nous construisons des estimateurs par la méthode du noyau pour la fonction de mode. Nous établissons la convergence uniforme presque sûre et la normalité asymptotique de ces estimateurs. Dans un second temps, on généralise nos résultats au cas des données fortement mélangeantes. On établit également la convergence forte ainsi que la normalité asymptotique. Finalement, nous considérons le mode conditionnel dans le modèle LTRC dans le cas i.i.d. et nous définissions un nouvel estimateur lissé. La convergence uniforme avec vitesse de l’estimateur est obtenue. On obtient également sous des conditions de régularité, la normalité asymptotique de l’estimateur à noyau du mode conditionnel

Une étape vers la limite hydrodynamique : Trou spectral pour un gaz multicoloré avec désordre

L'objectif cette thèse est de donner la forme explicite des mesures canoniques et du trou spectral d'un processus d'exclusion simple pour un système désordonné de gaz multi-coloré.

Trou spectral d'un système d'un gaz multicoloré

Nous nous proposons, dans cette thèse, de donner la forme explicite des mesures canoniques et du trou spectral d’un processus d’exclusion simple pour un système désordonné de gaz coloré qui joue un rôle important dans l’étude limite hydrodyna- mique. L’approche que nous avons utilisé est similaire à celle considèrée par Dermoune et Heinrich.