Thème :
Equations différentielles fractionnaires à retard et inégalités de type Lyapunov.
Présentation :
Au cours de la dernière décennie, le calcul fractionnaire a été reconnu comme l'un des meilleurs outils pour décrire les processus à longue mémoire. De tels modèles sont intéressants aussi bien pour les ingénieurs et les physiciens que pour les mathématiciens, du moment qu’ils sont décrits par des équations différentielles contenant des dérivés d'ordre fractionnaire. En comparant avec la théorie classique des équations différentielles, les recherches sur la théorie des équations différentielles fractionnaires sont seulement sur leur stade initial de développement.
Vu que de nombreuses méthodes classiques ne sont guère applicables directement aux équations différentielles fractionnaires, l'investigation devient plus difficile et de nouvelles théories et méthodes doivent donc être spécifiquement développées.
L’objectif de ce projet est d’une part, l’étude d’une variété d’équations différentielles non linéaires d’ordre fractionnaire avec des applications. De nombreux processus complexes dans la nature et la technologie sont décrits par des équations différentielles d’ordre fractionnaire ce qui permet de considérer l'influence préhistorique ou post-effet. Idéalement, un système réel devrait être modélisé par des équations différentielles avec des retards temporels. En effet, l'utilisation des équations différentielles à retard dans la modélisation de la dynamique des populations est actuellement très active, en raison des récents progrès réalisés dansla compréhension de la dynamique de plusieurs classes importantes d'équations différentielles. De plus, les retards se produisent si souvent, dans presque toutes les situations et tant de processus naturels ou artificielsimpliquent des retards.
D’autre part, on s’intéresse aux généralisations des inégalités de Lyapunov pour les équations différentielles d’ordre non entier. L'inégalité de Lyapunov et ses généralisations ont de nombreuses applications dans différents domaines tels que la théorie des oscillations, le comportement qualitatif des solutions des équations différentielles, comme la stabilité et les propriétés spectrales. De plus, en appliquant ces inégalités, on peut estimer le nombre maximum de zéros pour les solutions non triviales de problèmes considérés et la distance entre les zéros consécutifs des solutions oscillatoires.